Punkt P = (5, −12) na ramieniu kąta - oblicz sin α, cos α, tg α i ctg α

Krok 1. Odległość punktu od początku układu. Wstawiamy $x = 5$, $y = -12$ do wzoru na $r$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.$

Uwaga: $r$ to odległość, więc jest zawsze dodatnie - minus współrzędnej $y$ znika przy podnoszeniu do kwadratu.

Krok 2. Sinus i cosinus. Dzielimy współrzędne przez $r$:

$\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{-12}{13} = -\frac{12}{13}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{5}{13}.$

Krok 3. Tangens i cotangens. To ilorazy samych współrzędnych:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} = -\frac{12}{5}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y} = -\frac{5}{12}.$

Krok 4. Sprawdzenie znaków. Punkt ma $x > 0$ i $y < 0$, więc leży w IV ćwiartce. Tam dodatni jest tylko cosinus - i rzeczywiście tylko $\cos\alpha$ wyszedł dodatni.

Odpowiedź. $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$, $\cos\alpha = \frac{5}{13}$, $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{12}{5}$, $\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{5}{12}$; kąt leży w IV ćwiartce (ma około $292{,}6^\circ$).