Liczby trzycyfrowe „górki” - cyfra dziesiątek największa

Krok 1. Od której cyfry zacząć. Obie skrajne cyfry porównujemy ze środkową, więc to ją ustalamy najpierw. Oznaczmy cyfrę dziesiątek przez $m$ i policzmy liczby dla każdego $m$ osobno.

Krok 2. Ustalone $m$. Cyfra setek musi być mniejsza od $m$ i różna od zera (liczba trzycyfrowa), czyli należy do zbioru $\{1, 2, \ldots, m - 1\}$ - to $m - 1$ możliwości. Cyfra jedności musi być mniejsza od $m$, ale zero jest dozwolone: zbiór $\{0, 1, \ldots, m - 1\}$, czyli $m$ możliwości. Z reguły mnożenia dla ustalonego $m$ mamy

$$(m - 1) \cdot m$$

liczb. Dla $m = 0$ i $m = 1$ to zero - nie ma cyfry setek mniejszej od $m$.

Krok 3. Wartości dla kolejnych $m$.

• $m = 2$: $1 \cdot 2 = 2$ (liczby $120$, $121$),
• $m = 3$: $2 \cdot 3 = 6$,
• $m = 4$: $3 \cdot 4 = 12$,
• $m = 5$: $4 \cdot 5 = 20$,
• $m = 6$: $5 \cdot 6 = 30$,
• $m = 7$: $6 \cdot 7 = 42$,
• $m = 8$: $7 \cdot 8 = 56$,
• $m = 9$: $8 \cdot 9 = 72$.

Krok 4. Reguła dodawania. Różne $m$ dają różne liczby, więc przypadki są rozłączne:

$$2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 = 240.$$

Odpowiedź. Jest $240$ takich liczb.