Skład drużyny z bramkarzem i kapitanem - kombinacje i reguła mnożenia

Krok 1. Dzielimy decyzję na etapy. Trener podejmuje trzy kolejne decyzje: wybór bramkarza, wybór szóstki zawodników z pola i wybór kapitana w tej szóstce. Liczymy każdą osobno i mnożymy.

Krok 2. Bramkarz. Jednego z $3$ bramkarzy wybieramy na $3$ sposoby.

Krok 3. Zawodnicy z pola. W szóstce nie ma ustalonych pozycji - liczy się tylko, kto gra. To kombinacja $6$ z $12$:

$$\binom{12}{6} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6!} = \frac{665\,280}{720} = 924.$$

Krok 4. Kapitan. Kapitana wybieramy spośród $6$ zawodników już wybranych do składu - na $6$ sposobów. (Gdyby kapitanem mógł być każdy z $12$ zawodników, część wyborów dawałaby kapitana siedzącego na ławce, a tego treść nie dopuszcza.)

Krok 5. Reguła mnożenia.

$$3 \cdot \binom{12}{6} \cdot 6 = 3 \cdot 924 \cdot 6 = 16\,632.$$

Sprawdzenie innym sposobem. Można najpierw wybrać kapitana spośród $12$ zawodników z pola, a potem pięciu pozostałych graczy z $11$: $3 \cdot 12 \cdot \binom{11}{5} = 3 \cdot 12 \cdot 462 = 16\,632$. Ten sam wynik - dobry znak, że nic nie policzyliśmy dwa razy.

Odpowiedź. Trener może to zrobić na $16\,632$ sposoby.