Kula wpisana w stożek równoboczny - stosunek objętości

Krok 1. Promień kuli. Przekrój osiowy przechodzi przez środek kuli, więc przecina ją wzdłuż koła wielkiego - okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny. Jego promień to $\frac{1}{3}$ wysokości trójkąta:

$h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}, \qquad r = \frac{1}{3}h = 2\sqrt{3}.$

Krok 2. Objętość kuli. $(2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$, więc

$V_{\text{kuli}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 24\sqrt{3} = 32\sqrt{3}\,\pi.$

Krok 3. Objętość stożka. Promień podstawy to $6$, wysokość to $h = 6\sqrt{3}$:

$V_{\text{stożka}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\,\pi.$

Krok 4. Stosunek.

$\frac{V_{\text{kuli}}}{V_{\text{stożka}}} = \frac{32\sqrt{3}\,\pi}{72\sqrt{3}\,\pi} = \frac{4}{9}.$

Odpowiedź. $V_{\text{kuli}} = 32\sqrt{3}\,\pi$, a stosunek objętości kuli do stożka wynosi $4 : 9$.