Kula wpisana w walec - jaką część walca zajmuje kula

Krok 1. Promień kuli. Kula styka się z obiema podstawami, więc jej średnica to wysokość walca: $2R = 10$, czyli $R = 5$ - tyle samo co promień walca, więc kula dotyka też powierzchni bocznej.

Krok 2. Objętości.

$V_{\text{walca}} = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi, \qquad V_{\text{kuli}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi.$

Krok 3. Stosunek.

$\frac{V_{\text{kuli}}}{V_{\text{walca}}} = \frac{500}{3} \cdot \frac{1}{250} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\%.$

To słynny wynik Archimedesa - kula wpisana w walec zajmuje zawsze dokładnie $\frac{2}{3}$ jego objętości, niezależnie od promienia.

Krok 4. Wolna przestrzeń.

$250\pi - \frac{500}{3}\pi = \frac{250}{3}\pi \approx 261{,}8.$

Odpowiedź. Kula zajmuje $\frac{2}{3}$ objętości walca, a wolna przestrzeń ma objętość $\frac{250}{3}\pi$.