Indukcja matematyczna - liczba przekątnych wielokąta n(n − 3)/2

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 3 (baza). Trójkąt nie ma przekątnych - każde dwa wierzchołki są połączone bokiem. Wzór daje $\frac{3 \cdot 0}{2} = 0$. Zgadza się.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że każdy $k$-kąt wypukły ($k \ge 3$) ma $\frac{k(k - 3)}{2}$ przekątnych. Teza: $(k + 1)$-kąt wypukły ma $\frac{(k + 1)(k - 2)}{2}$ przekątnych.

Krok 3. Dowód kroku. Weźmy $(k + 1)$-kąt wypukły i jeden jego wierzchołek $P$ z sąsiadami $A$ i $B$. Odcinając trójkąt $APB$, otrzymujemy $k$-kąt, który z założenia ma $\frac{k(k - 3)}{2}$ przekątnych. Wszystkie one są też przekątnymi dużego wielokąta. Co dochodzi po dołożeniu wierzchołka $P$?

• przekątne wychodzące z $P$: łączą go z wszystkimi wierzchołkami poza nim samym i dwoma sąsiadami, czyli jest ich $(k + 1) - 3 = k - 2$,
• odcinek $AB$: w $k$-kącie był bokiem, a w $(k + 1)$-kącie staje się przekątną - to jeszcze $1$.

Razem dochodzi $k - 1$ przekątnych:

$\frac{k(k - 3)}{2} + (k - 1) = \frac{k^2 - 3k + 2k - 2}{2} = \frac{k^2 - k - 2}{2} = \frac{(k + 1)(k - 2)}{2}.$

To jest teza.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $n$-kąt wypukły ma $\frac{n(n - 3)}{2}$ przekątnych dla każdego $n \ge 3$. Na przykład sześciokąt ma $\frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ przekątnych. Więcej zadań z przekątnymi: wielokąty - zadania.