Indukcja matematyczna - na ile części n prostych dzieli płaszczyznę

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 0 (baza). Bez żadnej prostej płaszczyzna jest jedną częścią, a wzór daje $\frac{0 \cdot 1}{2} + 1 = 1$. (Dla kontroli: jedna prosta daje $2$ części, dwie przecinające się - $4$, wzór daje odpowiednio $2$ i $4$.)

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że $k$ prostych w opisanym położeniu dzieli płaszczyznę na $\frac{k(k + 1)}{2} + 1$ części. Teza: $k + 1$ takich prostych dzieli ją na $\frac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1$ części.

Krok 3. Dowód kroku. Mamy $k + 1$ prostych. Usuwamy na chwilę jedną z nich, nazwijmy ją $\ell$. Pozostałe $k$ prostych dzieli płaszczyznę (z założenia) na $\frac{k(k + 1)}{2} + 1$ części. Dorysujmy $\ell$ z powrotem:

• $\ell$ przecina każdą z $k$ prostych (żadna nie jest do niej równoległa) i to w $k$ różnych punktach (żadne trzy proste nie przechodzą przez jeden punkt),
• te $k$ punktów dzieli prostą $\ell$ na $k + 1$ kawałków (dwie półproste i $k - 1$ odcinków),
• każdy kawałek przechodzi przez jedną z dotychczasowych części płaszczyzny i przecina ją na dwie.

Liczba części rośnie więc o $k + 1$:

$\frac{k(k + 1)}{2} + 1 + (k + 1) = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1.$

To jest teza.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $n$ prostych w położeniu ogólnym dzieli płaszczyznę na $\frac{n(n + 1)}{2} + 1$ części, np. $3$ proste - na $7$ części, a $10$ prostych - na $56$ części.