Indukcja matematyczna - suma kątów wielokąta wypukłego (n − 2)·180°

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 3 (baza). Suma kątów trójkąta to $180^\circ$, a wzór daje $(3 - 2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$. Zgadza się.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 3$ suma kątów każdego $k$-kąta wypukłego wynosi $(k - 2) \cdot 180^\circ$. Teza: suma kątów każdego $(k + 1)$-kąta wypukłego wynosi $(k - 1) \cdot 180^\circ$.

Krok 3. Dowód kroku. Weźmy $(k + 1)$-kąt wypukły $A_1 A_2 \ldots A_{k+1}$ i poprowadźmy przekątną $A_1 A_k$. Dzieli ona wielokąt na:

• $k$-kąt $A_1 A_2 \ldots A_k$ - wypukły, więc z założenia suma jego kątów to $(k - 2) \cdot 180^\circ$,
• trójkąt $A_k A_{k+1} A_1$ - suma jego kątów to $180^\circ$.

Przekątna leży wewnątrz wielokąta (bo jest on wypukły), więc kąty przy $A_1$ i $A_k$ rozkładają się na części należące do obu figur, a kąty obu figur razem dają dokładnie kąty $(k + 1)$-kąta. Stąd

$(k - 2) \cdot 180^\circ + 180^\circ = (k - 1) \cdot 180^\circ = \left((k + 1) - 2\right) \cdot 180^\circ.$

To jest teza.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej suma kątów $n$-kąta wypukłego wynosi $(n - 2) \cdot 180^\circ$ dla każdego $n \ge 3$ - na przykład w pięciokącie $540^\circ$, a w sześciokącie $720^\circ$.