Winda i pasażerowie - na ilu piętrach wysiądą? Wariacje z powtórzeniami i bez

Krok 1. Model. Każda osoba wybiera piętro - wynik to ciąg $4$ numerów pięter (piętro pierwszej osoby, drugiej, trzeciej, czwartej). Jak w zadaniu o kulach i szufladach: wybierają osoby, więc liczba pięter jest podstawą, a liczba osób - wykładnikiem.

Krok 2. a) Wariacje z powtórzeniami. Kilka osób może wysiąść na tym samym piętrze:

$$\overline{V}_8^4 = 8^4 = 4096.$$

Krok 3. b) Wariacje bez powtórzeń. Pierwsza osoba ma $8$ pięter do wyboru, druga już tylko $7$ (inne niż pierwsza), trzecia $6$, czwarta $5$:

$$V_8^4 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680.$$

Krok 4. c) Zdarzenie przeciwne. „Co najmniej dwie osoby na tym samym piętrze” obejmuje mnóstwo przypadków (dwie razem i dwie osobno, dwie pary, trzy razem, wszystkie razem…). Ale jest to dokładnie zaprzeczenie sytuacji z punktu b) - albo wszyscy wysiadają na różnych piętrach, albo jakieś piętro się powtarza. Zatem

$$8^4 - V_8^4 = 4096 - 1680 = 2416.$$

Wniosek. Ponad połowa wszystkich możliwości ($2416$ z $4096$, czyli około $59\%$) to sytuacje, w których ktoś wysiada razem z kimś. Ten sam mechanizm stoi za paradoksem urodzin.

Odpowiedź. a) $4096$; b) $1680$; c) $2416$.