Funkcja f(x) = aˣ spełnia f(2) − f(1) = 6 - wyznacz podstawę a

Krok 1. Równanie. $f(2) = a^2$, $f(1) = a$, więc

$a^2 - a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - a - 6 = 0$

Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego. $\Delta = 1 + 24 = 25$, $\sqrt{\Delta} = 5$:

$a = \frac{1 - 5}{2} = -2 \qquad \text{lub} \qquad a = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Krok 3. Warunek na podstawę. Podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia, więc $a = -2$ odrzucamy. Zostaje $a = 3$.

Krok 4. Własności. $f(x) = 3^x$ jest rosnąca (podstawa $3 > 1$), a

$f(-1) = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Odpowiedź. $a = 3$, funkcja jest rosnąca, $f(-1) = \frac{1}{3}$.

Sprawdzenie: $f(2) - f(1) = 9 - 3 = 6$.