Dla jakich a zachodzi a^√2 < a^1,4? Monotoniczność bez liczenia

Krok 1. Porównanie wykładników. $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2$, więc $1{,}4 < \sqrt{2}$. Lewa strona ma więc większy wykładnik niż prawa.

Krok 2. Przypadek $a > 1$. Funkcja $a^x$ jest rosnąca: większy wykładnik daje większą potęgę, czyli $a^{\sqrt{2}} > a^{1{,}4}$. Nierówność nie zachodzi.

Krok 3. Przypadek $a = 1$. Obie strony są równe $1$, a nierówność jest ostra - nie zachodzi.

Krok 4. Przypadek $0 < a < 1$. Funkcja $a^x$ jest malejąca: większy wykładnik daje mniejszą potęgę, czyli $a^{\sqrt{2}} < a^{1{,}4}$. Nierówność zachodzi.

Odpowiedź. $a \in (0, 1)$.

Sprawdzenie dla $a = 0{,}5$: $0{,}5^{\sqrt{2}} \approx 0{,}375$, a $0{,}5^{1{,}4} \approx 0{,}379$ - zgadza się. Dla $a = 2$: $2^{\sqrt{2}} \approx 2{,}665 > 2^{1{,}4} \approx 2{,}639$.