Parametr w podstawie: kiedy f(x) = (m² − 3)ˣ rośnie, a kiedy maleje?

Krok 1. Funkcja wykładnicza. Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$:

$m^2 - 3 > 0 \quad \text{i} \quad m^2 - 3 \ne 1$

$m^2 > 3$ daje $|m| > \sqrt{3}$, a $m^2 \ne 4$ daje $m \ne -2$ i $m \ne 2$:

$m \in \left(-\infty, -\sqrt{3}\right) \cup \left(\sqrt{3}, +\infty\right), \quad m \ne \pm 2$

Krok 2. Funkcja rosnąca. Podstawa większa od $1$:

$m^2 - 3 > 1 \quad\Longrightarrow\quad m^2 > 4 \quad\Longrightarrow\quad m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

Krok 3. Funkcja malejąca. Podstawa między $0$ a $1$:

$0 < m^2 - 3 < 1 \quad\Longrightarrow\quad 3 < m^2 < 4 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{3} < |m| < 2$

Odpowiedź. Funkcja wykładnicza dla $|m| > \sqrt{3}$, $m \ne \pm 2$. Rosnąca dla $m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, malejąca dla $m \in \left(-2, -\sqrt{3}\right) \cup \left(\sqrt{3}, 2\right)$.

Pułapka: z $m^2 > 4$ nie wynika samo $m > 2$. Ujemne $m$ też spełniają warunek, bo w podstawie stoi $m^2$.