Które funkcje są rosnące: (√2)ˣ, 0,7ˣ, 3⁻ˣ, (π/3)ˣ, (2/√5)ˣ?

Szkoła średnia łatwe

Które z podanych funkcji są rosnące, a które malejące?

$f(x) = \left(\sqrt{2}\right)^x, \quad g(x) = 0{,}7^x, \quad h(x) = 3^{-x}, \quad k(x) = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x, \quad l(x) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^x$

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Reguła. Funkcja $a^x$ jest rosnąca dla $a > 1$ i malejąca dla $0 < a < 1$ . Wystarczy porównać każdą podstawę z liczbą $1$ .

Krok 2. Podstawy jawne.

$\sqrt{2} \approx 1{,}41 > 1$ - funkcja $f$ jest rosnąca;
$0{,}7 < 1$ - funkcja $g$ jest malejąca;
$\frac{\pi}{3} > 1$ , bo $\pi > 3$ - funkcja $k$ jest rosnąca (choć bardzo „płaska”, podstawa to około $1{,}047$ );
$\frac{2}{\sqrt{5}} < 1$ , bo $2 < \sqrt{5}$ (kwadraty: $4 < 5$ ) - funkcja $l$ jest malejąca.

Krok 3. Podstawa ukryta. $h(x) = 3^{-x} = \left(3^{-1}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ , a $\frac{1}{3} < 1$ - funkcja $h$ jest malejąca, mimo że w zapisie widać trójkę.

Odpowiedź. Rosnące: $f$ i $k$ . Malejące: $g$ , $h$ i $l$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →