Jak zmienia się odchylenie standardowe po dodaniu stałej i pomnożeniu danych

Krok 1. Dane wyjściowe (część a).

$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5.$

Odchylenia: $-3, -1, 1, 3$; kwadraty: $9, 1, 1, 9$, razem $20$:

$\sigma^2 = \frac{20}{4} = 5, \qquad \sigma = \sqrt{5} \approx 2{,}24.$

Krok 2. Dane zwiększone o $5$ (część b): $7, 9, 11, 13$. Średnia wynosi $\frac{40}{4} = 10$, czyli też wzrosła o $5$. Odchylenia od nowej średniej to znowu $-3, -1, 1, 3$, więc

$\sigma = \sqrt{5}.$

Przesunięcie wszystkich danych o tę samą liczbę nie zmienia rozrzutu.

Krok 3. Dane pomnożone przez $3$ (część c): $6, 12, 18, 24$. Średnia wynosi $\frac{60}{4} = 15$, czyli $3 \cdot 5$. Odchylenia: $-9, -3, 3, 9$ - trzy razy większe niż wcześniej. Kwadraty: $81, 9, 9, 81$, razem $180$:

$\sigma^2 = \frac{180}{4} = 45, \qquad \sigma = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71.$

Krok 4. Reguła ogólna. Dla danych $a x_i + b$ średnia wynosi $a\bar{x} + b$, odchylenie standardowe $|a| \cdot \sigma$, a wariancja $a^2 \sigma^2$ (tu $9 \cdot 5 = 45$).

Odpowiedź. a) $\bar{x} = 5$, $\sigma = \sqrt{5}$. b) $\bar{x} = 10$, $\sigma = \sqrt{5}$. c) $\bar{x} = 15$, $\sigma = 3\sqrt{5}$.