Wariancja ze wzoru skróconego: średnia kwadratów minus kwadrat średniej

Krok 1. Średnia danych:

$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 2 + 3 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3.$

Krok 2. Średnia kwadratów danych. Najpierw podnosimy każdą daną do kwadratu, dopiero potem liczymy średnią:

$\overline{x^2} = \frac{1 + 4 + 4 + 9 + 49}{5} = \frac{67}{5} = 13{,}4.$

Krok 3. Wariancja:

$\sigma^2 = 13{,}4 - 3^2 = 13{,}4 - 9 = 4{,}4.$

Krok 4. Sprawdzenie z definicji. Odchylenia od średniej: $-2, -1, -1, 0, 4$; kwadraty: $4, 1, 1, 0, 16$, razem $22$. Wariancja: $\frac{22}{5} = 4{,}4$ - ten sam wynik.

Krok 5. Odchylenie standardowe:

$\sigma = \sqrt{4{,}4} \approx 2{,}10.$

Uwaga - typowy błąd. $\overline{x^2}$ (średnia kwadratów, tu $13{,}4$) i $\bar{x}^2$ (kwadrat średniej, tu $9$) to dwie różne liczby. Ich różnica jest właśnie wariancją.

Odpowiedź. $\sigma^2 = 4{,}4$, $\sigma \approx 2{,}10$.