Trzy żarówki wyjęte bez zwracania - prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna jest wadliwa

Krok 1. Gałęzie sprzyjające. Oznaczmy $W$ - żarówka wadliwa, $D$ - dobra (dobrych jest $7$). Dokładnie jedna wadliwa oznacza jedną z trzech gałęzi: $WDD$, $DWD$, $DDW$. Za każdym razem liczba żarówek w pudełku maleje o $1$.

Krok 2. Iloczyny wzdłuż gałęzi.

• $WDD$: $\tfrac{3}{10} \cdot \tfrac{7}{9} \cdot \tfrac{6}{8} = \tfrac{126}{720}$,
• $DWD$: $\tfrac{7}{10} \cdot \tfrac{3}{9} \cdot \tfrac{6}{8} = \tfrac{126}{720}$,
• $DDW$: $\tfrac{7}{10} \cdot \tfrac{6}{9} \cdot \tfrac{3}{8} = \tfrac{126}{720}$.

Liczniki to te same czynniki $3, 7, 6$ w innej kolejności, a mianowniki zawsze $10 \cdot 9 \cdot 8$ - dlatego gałęzie mają równe prawdopodobieństwa $\tfrac{126}{720} = \tfrac{7}{40}$.

Krok 3. Suma.

$P = 3 \cdot \frac{7}{40} = \frac{21}{40}.$

Krok 4. Sprawdzenie kombinacjami. Wybór trzech żarówek bez kolejności: wszystkich podzbiorów jest $\binom{10}{3} = 120$, sprzyjających $\binom{3}{1} \cdot \binom{7}{2} = 3 \cdot 21 = 63$:

$P = \frac{63}{120} = \frac{21}{40}.$

Uwaga o pułapce. Policzenie tylko gałęzi $WDD$ daje $\tfrac{7}{40}$ - zapomina się, że wadliwa żarówka może zostać wyjęta jako druga albo trzecia.

Odpowiedź. $P = \dfrac{21}{40} = 0{,}525$.