Rzucamy kostką do pierwszej szóstki, najwyżej trzy razy - prawdopodobieństwo szóstki

Krok 1. Drzewko z kończącymi się gałęziami. Po każdym rzucie są dwie gałęzie: „szóstka” ($\tfrac{1}{6}$) - gra się kończy, albo „nie szóstka” ($\tfrac{5}{6}$) - rzucamy dalej (jeśli nie był to trzeci rzut). Gałęzie sprzyjające zdarzeniu $A$ - „wypadnie szóstka”:

• szóstka w pierwszym rzucie: $\tfrac{1}{6}$,
• nie szóstka, potem szóstka: $\tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{36}$,
• nie szóstka, nie szóstka, szóstka: $\tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{25}{216}$.

Krok 2. Suma gałęzi. Sprowadzamy do mianownika $216$:

$P(A) = \frac{36}{216} + \frac{30}{216} + \frac{25}{216} = \frac{91}{216}.$

Krok 3. Sprawdzenie przez zdarzenie przeciwne. Jedyna gałąź niesprzyjająca to trzy razy „nie szóstka”:

$P(A') = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}, \qquad P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}.$

Zgadza się. Zdarzenie przeciwne jest tu szybszą drogą.

Uwaga o pułapce. Rachunek $3 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{2}$ jest błędny: ignoruje to, że do drugiego i trzeciego rzutu dochodzi tylko wtedy, gdy wcześniej szóstki nie było.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{91}{216} \approx 0{,}42$.