Moneta wybiera urnę - prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli (drzewko)

Krok 1. Drzewko. Pierwszy etap to wybór urny (po $\tfrac{1}{2}$), drugi - kolor kuli. Prawdopodobieństwa na gałęziach drugiego etapu zależą od urny: w urnie I biała ma szansę $\tfrac{3}{5}$, w urnie II - $\tfrac{1}{5}$.

Krok 2. Gałęzie sprzyjające. Niech $B$ - „wylosowano kulę białą”. Mnożymy wzdłuż gałęzi:

• orzeł → urna I → biała: $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{3}{10}$,
• reszka → urna II → biała: $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{10}$.

Krok 3. Suma.

$P(B) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.$

Sprawdzenie. Prawdopodobieństwa wszystkich czterech liści sumują się do $1$: $\tfrac{3}{10} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{10} + \tfrac{2}{5} = 1$.

Uwaga o pułapce. Wrzucenie wszystkich kul do jednej urny ($4$ białe z $10$) daje tu przypadkiem ten sam wynik, bo urny mają tyle samo kul, a wybór urny jest symetryczny. Przy urnach różnej wielkości ten skrót daje zły wynik - drzewko działa zawsze.

Odpowiedź. $P(B) = \dfrac{2}{5}$.