Strzelec oddaje trzy strzały - prawdopodobieństwo co najmniej dwóch trafień

Krok 1. Drzewko. Oznaczmy $T$ - trafienie, $N$ - pudło. Prawdopodobieństwa pudła to $0{,}4$, $0{,}5$ i $0{,}2$. Pełne drzewko ma $2^3 = 8$ liści - potrzebne są tylko te z co najmniej dwiema literami $T$.

Krok 2. Trzy trafienia.

$P(TTT) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}8 = 0{,}24.$

Krok 3. Dokładnie dwa trafienia - pudło może być w każdym z trzech strzałów:

• $TTN$: $0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}06$,
• $TNT$: $0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}8 = 0{,}24$,
• $NTT$: $0{,}4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}8 = 0{,}16$.

Razem $0{,}06 + 0{,}24 + 0{,}16 = 0{,}46$.

Krok 4. Suma.

$P(\text{co najmniej dwa trafienia}) = 0{,}24 + 0{,}46 = 0{,}7.$

Uwaga o pułapce. Schemat Bernoulliego ($\binom{3}{2}p^2q$) nie działa, bo prawdopodobieństwo trafienia zmienia się od strzału do strzału. Każdą gałąź liczymy osobno - i dlatego wyniki $TTN$, $TNT$, $NTT$ są różne.

Odpowiedź. $P = 0{,}7 = \dfrac{7}{10}$.