Mecz do dwóch wygranych - prawdopodobieństwo wygranej (drzewko)

Krok 1. Drzewko. Oznaczmy przez $A$ wygraną partię Ani, a przez $B$ - Bartka. Mecz kończy się, gdy ktoś wygra drugą partię, więc po wynikach $AA$ i $BB$ trzecia partia się nie odbywa. Gałęzie mają różną długość.

Krok 2. Gałęzie, w których wygrywa Ania. Mnożymy wzdłuż gałęzi:

• $AA$: $\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{9}$,
• $ABA$: $\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{27}$,
• $BAA$: $\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{27}$.

Krok 3. Suma.

$P(\text{Ania wygra mecz}) = \frac{12}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} = \frac{20}{27}.$

Sprawdzenie. Gałęzie wygranych Bartka: $BB$ - $\tfrac{1}{9} = \tfrac{3}{27}$, $ABB$ i $BAB$ - po $\tfrac{2}{27}$. Razem $\tfrac{7}{27}$, a $\tfrac{20}{27} + \tfrac{7}{27} = 1$.

Wniosek. Mecz do dwóch wygranych wzmacnia lepszego gracza: Ania wygrywa partię z szansą około $67\%$, a mecz - około $74\%$.

Uwaga o pułapce. Zapomnienie o kolejności (liczenie tylko jednej gałęzi typu „jedna przegrana i dwie wygrane”) daje $\tfrac{4}{9} + \tfrac{4}{27} = \tfrac{16}{27}$. Przegrana może być w pierwszej albo w drugiej partii.

Odpowiedź. $P = \dfrac{20}{27} \approx 0{,}74$.