Przełożenie kuli z urny do urny - prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli

Krok 1. Pierwszy etap. Z urny A wyjmujemy kulę białą z prawdopodobieństwem $\tfrac{2}{5}$ albo czarną z prawdopodobieństwem $\tfrac{3}{5}$.

Krok 2. Skład urny B po przełożeniu. W urnie B jest teraz $6$ kul:

• gdy przełożyliśmy białą: $5$ białych i $1$ czarna, więc biała ma szansę $\tfrac{5}{6}$,
• gdy przełożyliśmy czarną: $4$ białe i $2$ czarne, więc biała ma szansę $\tfrac{4}{6}$.

Krok 3. Gałęzie sprzyjające. Niech $B$ - „z urny B wylosowano białą”:

• biała → biała: $\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{5}{6} = \tfrac{10}{30} = \tfrac{1}{3}$,
• czarna → biała: $\tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{4}{6} = \tfrac{12}{30} = \tfrac{2}{5}$.

Krok 4. Suma.

$P(B) = \frac{10}{30} + \frac{12}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}.$

Uwaga o pułapce. W drugim etapie mianownik to $6$, nie $5$ - urna B po przełożeniu ma o jedną kulę więcej. Rachunek z mianownikiem $5$ daje sumę prawdopodobieństw liści różną od $1$, co od razu zdradza błąd.

Odpowiedź. $P(B) = \dfrac{11}{15} \approx 0{,}73$.