Dwie kule bez zwracania - prawdopodobieństwo, że są tego samego koloru (drzewko)

Krok 1. Drzewko. Oznaczmy $C$ - kula czerwona, $N$ - niebieska. W pierwszym etapie w urnie jest $7$ kul, w drugim już tylko $6$, a skład zależy od tego, co wyjęliśmy:

• po czerwonej zostają $3$ czerwone i $3$ niebieskie,
• po niebieskiej zostają $4$ czerwone i $2$ niebieskie.

Krok 2. Gałęzie sprzyjające. Niech $A$ - „kule tego samego koloru”:

• $CC$: $\tfrac{4}{7} \cdot \tfrac{3}{6} = \tfrac{12}{42} = \tfrac{2}{7}$,
• $NN$: $\tfrac{3}{7} \cdot \tfrac{2}{6} = \tfrac{6}{42} = \tfrac{1}{7}$.

Krok 3. Suma.

$P(A) = \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}.$

Sprawdzenie. Liście sumują się do jedności: $\tfrac{2}{7} + \tfrac{2}{7} + \tfrac{2}{7} + \tfrac{1}{7} = 1$.

Uwaga o pułapce. Wpisanie w drugim etapie tych samych ułamków co w pierwszym ($\tfrac{4}{7}$ i $\tfrac{3}{7}$) to rachunek dla losowania ze zwracaniem - daje $\tfrac{16}{49} + \tfrac{9}{49} = \tfrac{25}{49}$, czyli inny wynik.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{3}{7}$.