Równanie 9ˣ − 3ˣ⁺¹ − 54 = 0 - podstawienie i odrzucenie ujemnego t

Krok 1. Wszystko przez $3^x$.

$9^x = \left(3^x\right)^2, \qquad 3^{x + 1} = 3 \cdot 3^x$

Krok 2. Podstawienie. Niech $t = 3^x$, przy czym $t > 0$:

$t^2 - 3t - 54 = 0$

Krok 3. Równanie kwadratowe. $\Delta = 9 + 216 = 225$, $\sqrt{\Delta} = 15$:

$t_1 = \frac{3 - 15}{2} = -6, \qquad t_2 = \frac{3 + 15}{2} = 9$

Krok 4. Odrzucenie ujemnego pierwiastka. $t = 3^x$ jest zawsze dodatnie, więc $t = -6$ odpada - równanie $3^x = -6$ nie ma rozwiązań. To najczęstszy błąd w tym typie zadań: ktoś próbuje „zlogarytmować” liczbę ujemną albo zapisuje dwa rozwiązania.

Krok 5. Powrót do $x$.

$3^x = 9 = 3^2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$

Krok 6. Sprawdzenie. $9^2 - 3^3 - 54 = 81 - 27 - 54 = 0$.

Odpowiedź. $x = 2$.