Przekątna ściany bocznej pod kątem 60° do krawędzi podstawy - przekątna graniastosłupa

Szkoła średnia średnie

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDA_1B_1C_1D_1$ krawędź podstawy ma długość $6$ , a przekątna $AB_1$ ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy $AB$ kąt $60^\circ$ . Oblicz wysokość graniastosłupa, długość przekątnej ściany bocznej i długość przekątnej graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 6. Przekątna ściany bocznej AB₁ tworzy z krawędzią AB kąt 60°, d = BD₁ - przekątna graniastosłupa.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Trójkąt w ścianie bocznej. Ściana $ABB_1A_1$ jest prostokątem, więc trójkąt $ABB_1$ ma kąt prosty przy $B$ . Przyprostokątne to $|AB| = 6$ i $|BB_1| = H$ , kąt przy $A$ wynosi $60^\circ$ .

Krok 2. Wysokość - z tangensa kąta ostrego:

$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{H}{6} \quad\Longrightarrow\quad H = 6\sqrt{3}.$

Krok 3. Przekątna ściany bocznej z cosinusa:

$\cos 60^\circ = \frac{6}{|AB_1|} \quad\Longrightarrow\quad |AB_1| = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12.$

Krok 4. Przekątna graniastosłupa. Przekątna podstawy to $6\sqrt{2}$ , a z trójkąta prostokątnego $BDD_1$ :

$|BD_1| = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{72 + 108} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$

Odpowiedź. $H = 6\sqrt{3}$ , przekątna ściany bocznej ma długość $12$ , a przekątna graniastosłupa $6\sqrt{5}$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →