Liczba rozwiązań równania g(x) = m w zależności od parametru

Krok 1. Zamieniamy równanie na obrazek. Rozwiązania równania $g(x) = m$ to punkty wspólne wykresu funkcji $g$ z poziomą prostą $y = m$. Wystarczy więc przesuwać w myślach taką prostą z dołu do góry i liczyć przecięcia.

Krok 2. Ustalamy zakres wartości funkcji. Z wykresu: najniższa wartość to $-4$, najwyższa $4$, czyli $ZW = \langle -4, 4 \rangle$.

Krok 3. Rozważamy kolejne położenia prostej.

• $m < -4$ - prosta przechodzi pod wykresem, brak punktów wspólnych: 0 rozwiązań;
• $m = -4$ - prosta pokrywa się z płaskim dnem wykresu na odcinku od $-1$ do $1$: nieskończenie wiele rozwiązań (każde $x \in \langle -1, 1 \rangle$);
• $-4 < m \leq 4$ - prosta przecina lewe i prawe ramię wykresu: 2 rozwiązania;
• $m > 4$ - prosta przechodzi nad wykresem: 0 rozwiązań.

Skąd bierze się przypadek „nieskończenie wiele”. Bo wykres ma fragment stały - poziomy odcinek. Przy wykresie bez takich odcinków (np. paraboli) tego przypadku by nie było.

Odpowiedź. Dla $m < -4$ i dla $m > 4$ równanie nie ma rozwiązań; dla $m = -4$ ma nieskończenie wiele rozwiązań; dla $-4 < m \leq 4$ ma dokładnie dwa rozwiązania.