Przekątna przekroju osiowego walca nachylona pod kątem 60° - objętość i pole

Krok 1. Trójkąt prostokątny w przekroju. Przekątna dzieli prostokąt $2r \times H$ na dwa trójkąty prostokątne. W każdym z nich przekątna $12$ jest przeciwprostokątną, średnica $2r$ - przyprostokątną przy kącie $60^\circ$, a wysokość $H$ - przyprostokątną naprzeciw tego kąta.

Krok 2. Wysokość i promień. Z definicji sinusa i cosinusa:

$$H = 12 \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}, \qquad 2r = 12 \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6, \quad r = 3.$$

Krok 3. Objętość.

$$V = \pi r^2 H = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\sqrt{3}\,\pi.$$

Krok 4. Pole powierzchni całkowitej.

$$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H = 2\pi \cdot 9 + 2\pi \cdot 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\pi + 36\sqrt{3}\,\pi = 18\pi\left(1 + 2\sqrt{3}\right).$$

Odpowiedź. $V = 54\sqrt{3}\,\pi$, $P_c = 18\pi\left(1 + 2\sqrt{3}\right) \approx 252{,}4$.

Pułapka. Cosinus kąta $60^\circ$ daje średnicę $2r$, a nie promień - przy pomyłce wychodzi walec dwa razy szerszy i cztery razy większa objętość. Więcej o przekroju osiowym w lekcji walec.