Samochód za 120 000 zł traci co roku 15% wartości - ile jest wart po 5 latach?

Krok 1. Model. Spadek o $15\%$ oznacza, że zostaje $85\%$ wartości, czyli mnożymy przez $0{,}85$. Wartości po kolejnych latach, $a_n$ (wartość po $n$ latach), tworzą ciąg geometryczny:

$a_n = 120\,000 \cdot 0{,}85^n, \qquad a_1 = 102\,000, \qquad q = 0{,}85$

Krok 2. Wartość po 5 latach. $0{,}85^5 = 0{,}4437053125$, więc

$a_5 = 120\,000 \cdot 0{,}4437053125 = 53\,244{,}6375 \approx 53\,244{,}64$

Krok 3. Próg połowy ceny. Szukamy najmniejszego $n$, dla którego $0{,}85^n < 0{,}5$. Liczymy kolejne potęgi:

$0{,}85^4 = 0{,}52200625 > 0{,}5, \qquad 0{,}85^5 = 0{,}4437053125 < 0{,}5$

Po $4$ latach samochód jest wart $62\,640{,}75$ zł - jeszcze więcej niż połowa ($60\,000$ zł), a po $5$ latach już mniej.

Odpowiedź. a) Po $5$ latach samochód jest wart około $53\,244{,}64$ zł. b) Po $5$ latach.

Częsty błąd: odejmowanie co roku $15\%$ ceny początkowej ($18\,000$ zł). To byłby ciąg arytmetyczny i po $5$ latach dałby $30\,000$ zł. W zadaniu spadek liczymy od wartości z poprzedniego roku, więc ciąg jest geometryczny.