Czy ciąg aₙ = 3·2ⁿ⁺¹ jest geometryczny? Wyznacz a₁ i q

Krok 1. Wyrazy są niezerowe. $3 \cdot 2^{\,n+1} > 0$ dla każdego $n$, więc można badać iloraz kolejnych wyrazów.

Krok 2. Iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Wyraz $a_{n+1}$ dostajemy, wstawiając $n + 1$ w miejsce $n$:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3 \cdot 2^{\,n+2}}{3 \cdot 2^{\,n+1}} = 2^{(n+2)-(n+1)} = 2$

Iloraz nie zależy od $n$, więc ciąg jest geometryczny z $q = 2$.

Krok 3. Pierwszy wyraz.

$a_1 = 3 \cdot 2^{1+1} = 3 \cdot 4 = 12$

Odpowiedź. Ciąg jest geometryczny, $a_1 = 12$, $q = 2$ (wyrazy $12, 24, 48, \ldots$). Można go zapisać jako $a_n = 12 \cdot 2^{\,n-1}$.

Pułapka: współczynnik $3$ przed potęgą nie jest pierwszym wyrazem. Pierwszy wyraz zawsze liczymy, podstawiając $n = 1$.