Trzy wyrazy ciągu geometrycznego: suma 26, iloczyn 216, ciąg malejący

Krok 1. Wygodne oznaczenie. Środkowy wyraz oznaczamy przez $a$, a sąsiednie przez $\frac{a}{q}$ i $aq$ (gdzie $q \neq 0$). Wtedy iloczyn upraszcza się sam:

$\frac{a}{q} \cdot a \cdot aq = a^3 = 216 \quad\Longrightarrow\quad a = 6$

Krok 2. Równanie z sumy.

$\frac{6}{q} + 6 + 6q = 26 \quad\Big|\cdot q \quad\Longrightarrow\quad 6 + 6q + 6q^2 = 26q \quad\Longrightarrow\quad 6q^2 - 20q + 6 = 0$

Po podzieleniu przez $2$: $3q^2 - 10q + 3 = 0$.

$\Delta = 100 - 36 = 64, \qquad q = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}, \qquad q = \frac{10 + 8}{6} = 3$

Krok 3. Wybór ciągu malejącego.

• $q = 3$: wyrazy $2, 6, 18$ - ciąg rosnący;
• $q = \frac{1}{3}$: wyrazy $18, 6, 2$ - ciąg malejący.

Krok 4. Sprawdzenie. $18 + 6 + 2 = 26$ i $18 \cdot 6 \cdot 2 = 216$.

Odpowiedź. Szukane liczby to $18$, $6$ i $2$.

Oznaczenie $a$, $aq$, $aq^2$ też prowadzi do celu, ale daje układ trudniejszych równań. Symetryczny zapis $\frac{a}{q}, a, aq$ to standardowy chwyt przy iloczynie trzech wyrazów.