Dla jakiego x liczby x + 1, 2x + 2, 5x − 3 tworzą ciąg geometryczny?

Krok 1. Warunek na trzy kolejne wyrazy. Niezerowe liczby $a, b, c$ tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy $b^2 = ac$:

$(2x + 2)^2 = (x + 1)(5x - 3)$

Krok 2. Równanie.

$4x^2 + 8x + 4 = 5x^2 + 2x - 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 6x - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 7)(x + 1) = 0$

Kandydaci: $x = 7$ i $x = -1$.

Krok 3. Sprawdzenie kandydatów.

• $x = 7$: liczby $8, 16, 32$ - ciąg geometryczny o ilorazie $q = 2$.
• $x = -1$: liczby $0, 0, -8$. Równość $0^2 = 0 \cdot (-8)$ zachodzi, ale z zera nie da się mnożeniem dojść do $-8$, więc to nie jest ciąg geometryczny.

Odpowiedź. $x = 7$.

To typowa pułapka: warunek $b^2 = ac$ jest równoważny „byciu ciągiem geometrycznym” tylko dla liczb różnych od zera. Każdego kandydata trzeba podstawić i sprawdzić, czy nie daje zerowego wyrazu.