Sześciokąty foremne o bokach 6 i 10 - pole większego ze skali podobieństwa

Krok 1. Czy figury są podobne? Tak. Wszystkie sześciokąty foremne mają kąty po $120^\circ$ i równe boki, więc każdy z nich jest powiększeniem lub pomniejszeniem drugiego. Tak samo jest z dowolnymi wielokątami foremnymi o tej samej liczbie boków.

Krok 2. Skala podobieństwa - stosunek odpowiadających sobie boków:

$k = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.$

Krok 3. Pole większego sześciokąta. Pola figur podobnych mają się jak $k^2$:

$P_2 = k^2 \cdot P_1 = \frac{25}{9} \cdot 54\sqrt{3} = 25 \cdot 6\sqrt{3} = 150\sqrt{3}.$

Krok 4. Sprawdzenie wzorem. Sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych o boku $a$, więc $P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Dla $a = 10$:

$P = \frac{3 \cdot 100 \cdot \sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}.$

Uwaga. Pomnożenie pola przez samą skalę $\frac{5}{3}$ dałoby $90\sqrt{3}$ - za mało. Boki rosną $\frac{5}{3}$ raza, ale pole - $\frac{25}{9}$ raza.

Odpowiedź. Sześciokąt foremny o boku $10$ ma pole $150\sqrt{3} \approx 259{,}8$.