Trapez z przekątnymi: trójkąty przy podstawach mają pola 32 i 8 - pole trapezu

Krok 1. Skala podobieństwa z pól. Trójkąty $ABS$ i $CDS$ są podobne: kąty przy $S$ są wierzchołkowe, a $\angle SAB = \angle SCD$ jako kąty naprzemianległe przy równoległych podstawach. Stosunek ich pól to $k^2$:

$k^2 = \frac{32}{8} = 4 \quad\Longrightarrow\quad k = 2.$

Zatem $|AS| = 2|SC|$ i $|BS| = 2|SD|$.

Krok 2. Trójkąt $BCS$. Trójkąty $BCS$ i $CDS$ mają wspólny wierzchołek $C$, a ich podstawy $BS$ i $SD$ leżą na jednej prostej. Mają więc tę samą wysokość z $C$, a pola w stosunku podstaw $|BS| : |SD| = 2 : 1$:

$P_{BCS} = 2 \cdot P_{CDS} = 2 \cdot 8 = 16.$

Krok 3. Trójkąt $ADS$. Trójkąty $ABD$ i $ABC$ mają wspólną podstawę $AB$ i tę samą wysokość (wysokość trapezu), więc równe pola. Po odjęciu wspólnego trójkąta $ABS$:

$P_{ADS} = P_{BCS} = 16.$

Kontrola: $\sqrt{32 \cdot 8} = \sqrt{256} = 16$.

Krok 4. Pole trapezu.

$P = 32 + 8 + 16 + 16 = 72.$

Krok 5. Podstawa $AB$ (b). Skala podobieństwa to stosunek podstaw:

$|AB| = k \cdot |CD| = 2 \cdot 5 = 10.$

Krok 6. Wysokość trapezu. Ze wzoru na pole trapezu:

$72 = \frac{10 + 5}{2} \cdot h \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{72}{7{,}5} = 9{,}6.$

Sprawdzenie: $S$ dzieli wysokość w stosunku $2 : 1$, więc trójkąt $CDS$ ma wysokość $3{,}2$ i pole $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3{,}2 = 8$ - zgadza się.

Uwaga. Pola $32$ i $8$ to stosunek $4$, ale skala to $\sqrt{4} = 2$. Gdyby przyjąć $k = 4$, wyszłoby $P_{BCS} = 32$ i pole trapezu $104$.

Odpowiedź. a) $P_{BCS} = P_{ADS} = 16$, pole trapezu $72$; b) $|AB| = 10$, wysokość trapezu $9{,}6$.