Dwie proste równoległe dzielące trójkąt na trzy części o równych polach

Krok 1. Oznaczenia. Niech pole całego trójkąta wynosi $3P$. Prosta przez $K$ odcina przy $C$ trójkąt podobny do $ABC$ o polu $P$ (tylko część pierwsza), a prosta przez $L$ - trójkąt podobny o polu $2P$ (części pierwsza i druga razem).

Krok 2. Skale z pól. Stosunek pól to kwadrat skali, a skalę odczytujemy z boku $CA$:

$\left(\frac{|CK|}{12}\right)^2 = \frac{P}{3P} = \frac{1}{3}, \qquad \left(\frac{|CL|}{12}\right)^2 = \frac{2P}{3P} = \frac{2}{3}.$

Krok 3. Odcinek $CK$.

$|CK| = 12 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93.$

Krok 4. Odcinek $CL$.

$|CL| = 12 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{6}}{3} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80.$

Krok 5. Szukane odcinki.

$|KL| = 4\sqrt{6} - 4\sqrt{3} \approx 2{,}87, \qquad |LA| = 12 - 4\sqrt{6} \approx 2{,}20.$

Kontrola: $4\sqrt{3} + (4\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) + (12 - 4\sqrt{6}) = 12$.

Uwaga. Podział boku na trzy równe odcinki po $4$ dałby pola w stosunku $1 : 3 : 5$, a nie równe. Przy równych polach odcinki maleją w miarę oddalania się od wierzchołka: $6{,}93 > 2{,}87 > 2{,}20$.

Odpowiedź. $|CK| = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$, $|KL| = 4\sqrt{6} - 4\sqrt{3} \approx 2{,}87$, $|LA| = 12 - 4\sqrt{6} \approx 2{,}20$.