Bok trójkąta podzielony na trzy równe części - pola trzech pasów w stosunku 1 : 3 : 5

Krok 1. Trójkąty podobne. Prosta równoległa do $AB$ odcina przy wierzchołku $C$ trójkąt podobny do $ABC$ (wspólny kąt przy $C$, kąty odpowiadające przy prostych równoległych). Mamy dwa takie trójkąty: odcięty prostą przez $K$ i odcięty prostą przez $L$.

Krok 2. Skale. Skalę odczytujemy z boku $CA$:

$k_K = \frac{|CK|}{|CA|} = \frac{1}{3}, \qquad k_L = \frac{|CL|}{|CA|} = \frac{2}{3}.$

Krok 3. Pola trójkątów przy wierzchołku C. Pola mają się jak kwadrat skali:

$P_K = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5, \qquad P_L = \frac{4}{9} \cdot 45 = 20.$

Krok 4. Pola trzech części. Część I to trójkąt przy $C$, a trapezy to różnice kolejnych trójkątów:

$P_{\text{I}} = 5, \qquad P_{\text{II}} = 20 - 5 = 15, \qquad P_{\text{III}} = 45 - 20 = 25.$

Kontrola: $5 + 15 + 25 = 45$.

Krok 5. Skąd stosunek 1 : 3 : 5? Trójkąty przy $C$ mają pola w stosunku $1^2 : 2^2 : 3^2 = 1 : 4 : 9$, a kolejne części to różnice: $1$, $4 - 1 = 3$, $9 - 4 = 5$ - kolejne liczby nieparzyste.

Uwaga. Równe odcinki na boku nie dają równych pól. Odpowiedź „po $15$” to typowy błąd - pola rosną w miarę oddalania się od wierzchołka $C$, bo pasy są coraz szersze.

Odpowiedź. $P_{\text{I}} = 5$, $P_{\text{II}} = 15$, $P_{\text{III}} = 25$.