Ile punktów o współrzędnych całkowitych leży w kole? Punkty kratowe

Krok 1. Postać koła. Dopełniamy do kwadratów: $x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$, $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$.

$$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 < 4 + 1 + 4 = 9.$$

To koło o środku $S = (1, -2)$ i promieniu $3$, bez brzegu.

Krok 2. Przesunięcie. Wprowadzamy $u = x - 1$ i $v = y + 2$. Gdy $x$ i $y$ są całkowite, $u$ i $v$ też są całkowite (i odwrotnie), więc wystarczy policzyć pary liczb całkowitych z warunkiem

$$u^2 + v^2 < 9.$$

Krok 3. Przegląd kolumn. Ponieważ $u^2 < 9$, mamy $u \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Dla każdego $u$ szukamy całkowitych $v$:

• $u = 0$: $v^2 < 9$, czyli $v \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ - $5$ punktów;
• $u = \pm 1$: $v^2 < 8$, czyli $v \in \{-2, \dots, 2\}$ - po $5$ punktów, razem $10$;
• $u = \pm 2$: $v^2 < 5$, czyli $v \in \{-2, \dots, 2\}$ - po $5$ punktów, razem $10$.

Dla $u = \pm 3$ byłoby $v^2 < 0$ - brak rozwiązań. Łącznie $5 + 10 + 10 = 25$ punktów.

Krok 4. Nierówność nieostra. Przy $u^2 + v^2 \le 9$ dochodzą punkty z $u^2 + v^2 = 9$, czyli leżące na okręgu. Jedyne rozkłady liczby $9$ na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych to $9 + 0$ i $0 + 9$, więc $(u, v) \in \{(\pm 3, 0), (0, \pm 3)\}$ - to $4$ punkty: $(4, -2)$, $(-2, -2)$, $(1, 1)$, $(1, -5)$. Razem $25 + 4 = 29$.

Uwaga: przy nierówności ostrej łatwo dopisać punkty z brzegu „na rozpęd”. Warto zawsze osobno zapytać, które punkty leżą dokładnie na okręgu - to one odróżniają $<$ od $\le$.

Odpowiedź. Nierówność ostrą spełnia $25$ punktów o współrzędnych całkowitych, nieostrą - $29$.