Część wspólna koła i półpłaszczyzny - pole odcinka koła z π i √3

Krok 1. Koło. Dopełniamy do kwadratów: $x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$, $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$.

$$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 \le 11 + 4 + 1 = 16.$$

To koło o środku $S = (-2, 1)$ i promieniu $r = 4$.

Krok 2. Punkty przecięcia okręgu z prostą $y = 3$. Podstawiamy $y = 3$:

$$(x + 2)^2 + 4 = 16 \quad\Longrightarrow\quad (x + 2)^2 = 12 \quad\Longrightarrow\quad x = -2 \pm 2\sqrt{3}.$$

Cięciwa ma końce $P_1 = (-2 - 2\sqrt{3}, 3)$ i $P_2 = (-2 + 2\sqrt{3}, 3)$ oraz długość $4\sqrt{3}$. Prosta przecina koło, a półpłaszczyzna $y \ge 3$ odcina z niego odcinek koła - część między cięciwą $P_1P_2$ a łukiem.

Krok 3. Kąt środkowy. Odległość środka od prostej $y = 3$ to $d = |3 - 1| = 2$. Spodek prostopadłej $H = (-2, 3)$ jest środkiem cięciwy, a w trójkącie prostokątnym $SHP_2$:

$$\cos\angle HSP_2 = \frac{|SH|}{|SP_2|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \angle HSP_2 = 60^\circ.$$

Kąt środkowy oparty na cięciwie: $\angle P_1SP_2 = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Krok 4. Pole wycinka o kącie $120^\circ$ to $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ pola koła:

$$P_{\text{wycinka}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{16\pi}{3}.$$

Krok 5. Pole trójkąta $P_1SP_2$. Podstawa $|P_1P_2| = 4\sqrt{3}$, wysokość $|SH| = 2$:

$$P_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}.$$

To samo daje wzór $\frac{1}{2} r^2 \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Krok 6. Pole odcinka koła to wycinek bez trójkąta:

$$P_{\text{odcinka}} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} \approx 9{,}83.$$

Krok 7. Pozostała część koła. Od pola całego koła odejmujemy odcinek:

$$16\pi - \left(\frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}\right) = \frac{32\pi}{3} + 4\sqrt{3} \approx 40{,}44.$$

Uwaga: wycinek i odcinek to różne figury. Wycinek ma wierzchołek w środku koła, odcinek - nie, dlatego od wycinka trzeba odjąć trójkąt. Przy prostej dalszej od środka niż połowa promienia kąt byłby mniejszy, ale metoda ta sama: $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{d}{r}$.

Odpowiedź. Pole figury opisanej układem wynosi $\frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} \approx 9{,}83$, a pole pozostałej części koła $\frac{32\pi}{3} + 4\sqrt{3} \approx 40{,}44$.