Pierścień między okręgami współśrodkowymi - nierówność podwójna i pole

Krok 1. Okrąg $o_1$. Dopełniamy do kwadratów: $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$, $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$.

$$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9 + 1 - 6 = 4.$$

Środek $(-3, 1)$, promień $r = 2$.

Krok 2. Okrąg $o_2$. Wyrazy z $x$ i $y$ są te same, zmienia się tylko wyraz wolny:

$$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9 + 1 + 15 = 25.$$

Środek $(-3, 1)$, promień $R = 5$. Oba okręgi mają środek $S = (-3, 1)$ - są współśrodkowe.

Krok 3. Nierówność podwójna. Oznaczmy $d^2 = (x + 3)^2 + (y - 1)^2$ - to kwadrat odległości punktu od $S$. Punkty między okręgami mają $2 < d < 5$, czyli $4 < d^2 < 25$. Brzeg zewnętrzny ($d^2 = 25$) ma należeć do zbioru, wewnętrzny ($d^2 = 4$) - nie. Zatem

$$4 < (x + 3)^2 + (y - 1)^2 \le 25.$$

Po lewej stronie stoi nierówność ostra (okrąg $o_1$ wyłączony), po prawej nieostra (okrąg $o_2$ włączony).

Krok 4. Pole pierścienia. To różnica pól dwóch kół - brzegi nie mają pola, więc nie wpływają na wynik:

$$P = \pi R^2 - \pi r^2 = 25\pi - 4\pi = 21\pi.$$

Krok 5. Punkty. Liczymy $d^2$ i sprawdzamy, czy $4 < d^2 \le 25$:

• $K = (0, 1)$: $3^2 + 0^2 = 9$ - należy;
• $L = (-3, 3)$: $0^2 + 2^2 = 4$ - nie należy, bo $4 < 4$ jest fałszem (punkt leży na okręgu $o_1$);
• $M = (1, 4)$: $4^2 + 3^2 = 25$ - należy, bo $25 \le 25$ (punkt leży na okręgu $o_2$).

Odpowiedź. a) Okręgi mają wspólny środek $(-3, 1)$ i promienie $2$ oraz $5$; zbiór opisuje nierówność $4 < (x + 3)^2 + (y - 1)^2 \le 25$. b) Pole wynosi $21\pi$. c) Do zbioru należą $K$ i $M$, punkt $L$ nie należy.