Koło zapisane nierównością - z brzegiem i bez brzegu

Krok 1. Nierówność koła. Punkt $(x, y)$ należy do koła, gdy jego odległość od środka nie przekracza promienia, czyli $(x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2$. Tu $a = -2$, $b = 3$, $r^2 = 16$:

$$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 \le 16 \qquad \text{(koło z brzegiem)},$$

$$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 < 16 \qquad \text{(koło bez brzegu)}.$$

Nierówność nieostra $\le$ dopuszcza punkty, dla których lewa strona jest równa $16$ - to właśnie punkty okręgu, czyli brzeg koła. Nierówność ostra $<$ je wyklucza.

Krok 2. Podstawiamy punkty. Dla każdego liczymy $(x + 2)^2 + (y - 3)^2$ i porównujemy z $16$:

• $A = (2, 3)$: $4^2 + 0^2 = 16$ - punkt leży na okręgu;
• $B = (0, 0)$: $2^2 + (-3)^2 = 13 < 16$ - punkt leży wewnątrz;
• $C = (1, -1)$: $3^2 + (-4)^2 = 25 > 16$ - punkt leży na zewnątrz;
• $D = (-2, -1)$: $0^2 + (-4)^2 = 16$ - punkt leży na okręgu.

Krok 3. Wnioski. Do koła z brzegiem należą punkty, dla których wynik jest $\le 16$: $A$, $B$, $D$. Do koła bez brzegu - tylko te z wynikiem $< 16$, czyli sam punkt $B$.

Uwaga: punkty $A$ i $D$ rozróżniają obie nierówności. Leżą na brzegu, więc spełniają $\le$, ale nie spełniają $<$. Na rysunku brzeg zbioru opisanego nierównością ostrą rysuje się linią przerywaną.

Odpowiedź. a) Koło z brzegiem: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 \le 16$, bez brzegu: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 < 16$. b) Do koła z brzegiem należą $A$, $B$, $D$; do koła bez brzegu tylko $B$; punkt $C$ nie należy do żadnego z nich.