Nierówność x² + y² − 4x + 6y − 12 ≤ 0 - środek, promień i pole koła

Krok 1. Dopełniamy do kwadratów. Grupujemy wyrazy z $x$ i z $y$: $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ oraz $y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$. Nierówność przyjmuje postać

$$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 12 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)^2 + (y + 3)^2 \le 25.$$

Przenoszenie liczb na drugą stronę nie zmienia kierunku nierówności - to dodawanie tej samej liczby do obu stron.

Krok 2. Środek i promień. Lewa strona to kwadrat odległości punktu $(x, y)$ od punktu $(2, -3)$, a $25 = 5^2$. Zbiór to punkty odległe od $S = (2, -3)$ o co najwyżej $5$, czyli koło o środku $S = (2, -3)$ i promieniu $r = 5$, razem z brzegiem (nierówność nieostra).

Krok 3. Pole koła.

$$P_{\text{koła}} = \pi r^2 = 25\pi.$$

Krok 4. Punkt $P = (5, 1)$. $(5 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 9 + 16 = 25 \le 25$ - nierówność jest spełniona (z równością), więc $P$ leży na brzegu koła i należy do niego.

Krok 5. Punkt $Q = (7, -1)$. $(7 - 2)^2 + (-1 + 3)^2 = 25 + 4 = 29 > 25$ - $Q$ leży poza kołem. Kontrola w nierówności wyjściowej: $49 + 1 - 28 - 6 - 12 = 4 > 0$, zgadza się.

Uwaga: nie każda taka nierówność opisuje koło. Na przykład $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14 \le 0$ prowadzi do $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 \le -1$, a suma kwadratów nie bywa ujemna - to zbiór pusty.

Odpowiedź. Nierówność jest równoważna $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 \le 25$, więc opisuje koło o środku $S = (2, -3)$ i promieniu $5$; jego pole to $25\pi$. Punkt $P$ należy do koła (leży na brzegu), punkt $Q$ nie należy.