Układ nierówności z rysunku - półkole i jego pole

Krok 1. Okrąg. Brzeg prosty obszaru to średnica, więc środek okręgu leży w jej środku. Z siatki: łuk przechodzi przez punkty $(2, 4)$ i $(-1, 1)$, a prosta przez $(2, 1)$. Punkt $S = (2, 1)$ jest odległy od obu punktów łuku o $3$ ($|4 - 1| = 3$ oraz $|2 - (-1)| = 3$), więc to środek okręgu, a promień $r = 3$:

$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9.$$

Krok 2. Prosta. Przechodzi przez $(0, -1)$ i $(1, 0)$, więc ma współczynnik kierunkowy $1$ i wyraz wolny $-1$: $y = x - 1$. Kontrola: środek $(2, 1)$ też na niej leży, bo $2 - 1 = 1$.

Krok 3. Nierówność koła. Obszar leży w kole, a łuk (linia ciągła) należy do obszaru: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \le 9$.

Krok 4. Nierówność półpłaszczyzny. Punkt kontrolny z zacieniowanej części, np. $(0, 2)$: $2 > 0 - 1$, więc obszar leży po stronie $y > x - 1$ (nad prostą). Prosta jest narysowana linią przerywaną, więc nierówność jest ostra.

Krok 5. Układ.

$$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y - 1)^2 \le 9 \\ y > x - 1 \end{cases}$$

Krok 6. Pole. Prosta przechodzi przez środek, więc dzieli koło na dwie równe połowy. Brakujący brzeg (średnica) nie ma pola:

$$P = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{9\pi}{2}.$$

Krok 7. Punkt $T = (4, 3)$. Pierwsza nierówność: $2^2 + 2^2 = 8 \le 9$ - spełniona. Druga: $3 > 4 - 1$, czyli $3 > 3$ - fałsz. Punkt leży na średnicy, a ta do obszaru nie należy.

Uwaga: punkt należy do obszaru opisanego układem tylko wtedy, gdy spełnia wszystkie nierówności naraz. $T$ leży w kole, ale to nie wystarcza.

Odpowiedź. a) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \le 9$ i $y > x - 1$. b) Pole wynosi $\frac{9\pi}{2}$. c) Punkt $T$ nie należy do obszaru.