Półpłaszczyzna wyznaczona przez prostą - nierówność y < ax + b

Krok 1. Równanie prostej $k$. Współczynnik kierunkowy:

$$a = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2.$$

Z punktu $A$: $y - 4 = -2(x + 1)$, czyli $y = -2x + 2$. Kontrola dla $B$: $-2 \cdot 2 + 2 = -2$, zgadza się.

Krok 2. Która strona? Prosta $y = -2x + 2$ dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny: $y > -2x + 2$ (nad prostą) i $y < -2x + 2$ (pod prostą). Stronę rozstrzyga punkt kontrolny spoza prostej - tu początek układu $O = (0, 0)$:

$$0 < -2 \cdot 0 + 2 = 2 \quad \text{- prawda.}$$

Punkt $O$ spełnia nierówność $y < -2x + 2$, więc to jest szukana półpłaszczyzna.

Krok 3. Brzeg. Punkty prostej $k$ mają do zbioru nie należeć, dlatego nierówność jest ostra: $y < -2x + 2$. Wersja z brzegiem miałaby postać $y \le -2x + 2$.

Krok 4. Punkt $P = (3, 1)$. Prawa strona: $-2 \cdot 3 + 2 = -4$. Nierówność $1 < -4$ jest fałszywa, więc $P$ leży po drugiej stronie prostej i do półpłaszczyzny nie należy.

Uwaga: „pod prostą” znaczy tu „niżej niż prosta przy tym samym $x$”, a nie „bliżej osi $x$”. Przy nierówności w postaci ogólnej, np. $2x + y - 2 < 0$, kierunek najłatwiej sprawdzić tym samym punktem kontrolnym - zgadywanie z samego znaku „<” często prowadzi do złej strony.

Odpowiedź. Półpłaszczyzna: $y < -2x + 2$ (równoważnie $2x + y - 2 < 0$). Punkt $P = (3, 1)$ do niej nie należy.