Równanie okręgu w postaci ogólnej - środek i promień przez dopełnienie do kwadratu

Krok 1. Grupujemy wyrazy z $x$ i z $y$.

$(x^2 + 8x) + (y^2 - 2y) = 8.$

Krok 2. Uzupełniamy do pełnych kwadratów. Do $x^2 + 8x$ brakuje $\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$, a do $y^2 - 2y$ brakuje $\left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1$. Dodajemy te liczby do obu stron:

$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 2y + 1) = 8 + 16 + 1.$

Krok 3. Zwijamy wzory skróconego mnożenia.

$(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 25.$

Krok 4. Odczytujemy środek i promień. $S = (-4, 1)$, $r = \sqrt{25} = 5$.

Kontrola wzorem. Dla $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$: $-2a = 8$, więc $a = -4$; $-2b = -2$, więc $b = 1$; $c = -8$ i $r^2 = a^2 + b^2 - c = 16 + 1 + 8 = 25$.

Odpowiedź. $S = (-4, 1)$, $r = 5$.