Położenie punktu względem okręgu - wewnątrz, na okręgu czy na zewnątrz

Krok 1. Postać kanoniczna. Uzupełniamy do pełnych kwadratów:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 3 + 9 + 4 \quad\Longrightarrow\quad (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16.$

Środek $S = (3, -2)$, promień $r = 4$, czyli $r^2 = 16$.

Krok 2. Zasada. Liczymy $|SP|^2 = (x - 3)^2 + (y + 2)^2$ i porównujemy z $r^2 = 16$: mniej - wewnątrz, równo - na okręgu, więcej - na zewnątrz.

Krok 3. Punkt $A = (3, 2)$. $0^2 + 4^2 = 16$ - punkt leży na okręgu.

Krok 4. Punkt $B = (5, 0)$. $2^2 + 2^2 = 8 < 16$ - punkt leży wewnątrz.

Krok 5. Punkt $C = (-2, 1)$. $(-5)^2 + 3^2 = 34 > 16$ - punkt leży na zewnątrz.

Odpowiedź. $A$ - na okręgu, $B$ - wewnątrz, $C$ - na zewnątrz.