Czy to równanie opisuje okrąg? Warunek a² + b² − c > 0

Krok 1. Wspólne przekształcenie. Lewe strony różnią się tylko wyrazem wolnym $c$. Uzupełniamy do kwadratów: $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ oraz $y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$. Równanie przyjmuje postać

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13 - c.$

Krok 2. Przykład a), $c = 9$. Prawa strona $13 - 9 = 4 > 0$, więc to okrąg: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$, środek $(2, -3)$, promień $2$.

Krok 3. Przykład b), $c = 13$. Prawa strona $0$. Suma dwóch kwadratów jest zerem tylko wtedy, gdy oba są zerami, więc równanie spełnia jeden punkt $(2, -3)$ - to nie jest okrąg.

Krok 4. Przykład c), $c = 20$. Prawa strona $-7 < 0$, a suma kwadratów nie może być ujemna. Równania nie spełnia żaden punkt - zbiór pusty.

Odpowiedź. Okrąg opisuje tylko równanie a): środek $(2, -3)$, promień $2$. Równanie b) opisuje punkt $(2, -3)$, równanie c) - zbiór pusty.