Rozłóż x⁴ + 4 na iloczyn (x² + ax + b)(x² + cx + d) - równość wielomianów

Krok 1. Wymnażamy prawą stronę i porządkujemy według potęg:

$(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a + c)x^3 + (b + d + ac)x^2 + (ad + bc)x + bd.$

Krok 2. Porównujemy współczynniki z $x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4$:

$\begin{cases} a + c = 0 \\ b + d + ac = 0 \\ ad + bc = 0 \\ bd = 4 \end{cases}$

Krok 3. Eliminujemy $c$. Z pierwszego równania $c = -a$. Podstawiamy do drugiego i trzeciego:

$b + d - a^2 = 0, \qquad ad - ab = a(d - b) = 0.$

Krok 4. Przypadek $a = 0$. Wtedy $c = 0$ i $b + d = 0$, czyli $d = -b$. Z ostatniego równania $b \cdot (-b) = 4$, czyli $b^2 = -4$ - sprzeczność. Ten przypadek nie daje rozwiązań.

Krok 5. Przypadek $d = b$. Z ostatniego równania $b^2 = 4$, czyli $b = 2$ lub $b = -2$, a z równania $a^2 = b + d = 2b$:

• dla $b = -2$: $a^2 = -4$ - sprzeczność;
• dla $b = 2$: $a^2 = 4$, czyli $a = 2$ (wtedy $c = -2$) albo $a = -2$ (wtedy $c = 2$).

Oba rozwiązania dają ten sam rozkład - różnią się tylko kolejnością czynników.

Krok 6. Sprawdzenie wzorem na różnicę kwadratów:

$(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = x^4 + 4.$

Każdy z trójmianów ma $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$, więc dalej się już nie rozkłada - to zgadza się z tym, że $x^4 + 4$ nie ma pierwiastków.

Uwaga: w kroku 3 nie wolno podzielić równania $a(d - b) = 0$ przez $a$. Trzeba rozważyć oba przypadki: $a = 0$ albo $d = b$.

Odpowiedź. $a = 2$, $b = 2$, $c = -2$, $d = 2$ (albo $a = -2$, $b = 2$, $c = 2$, $d = 2$):

$x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2).$