Dla jakich m wielomiany (m² − 9)x³ + (2m + 1)x² − 4 i 7x² − 4 są równe?

Krok 1. Warunek przy $x^3$ (wspólny dla obu części). Wielomiany $V$ i $U$ są stopnia $2$, nie mają wyrazu z $x^3$. Współczynnik przy $x^3$ w $W$ musi więc być zerem:

$m^2 - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 3 \ \text{lub}\ m = -3.$

Krok 2. Część a) - warunek przy $x^2$. Porównujemy z $V$: $2m + 1 = 7$, czyli $m = 3$. Wyrazy wolne są równe ($-4 = -4$).

Krok 3. Część a) - oba warunki jednocześnie. Pierwszy daje $m \in \{-3, 3\}$, drugi $m = 3$. Część wspólna to $m = 3$. Sprawdzenie: $W(x) = 0 \cdot x^3 + 7x^2 - 4 = V(x)$.

Dla $m = -3$ dostalibyśmy $W(x) = -5x^2 - 4$, a to nie jest $V$.

Krok 4. Część b) - warunek przy $x^2$. Porównujemy z $U$: $2m + 1 = 3$, czyli $m = 1$.

Krok 5. Część b) - oba warunki jednocześnie. Liczba $1$ nie należy do zbioru $\{-3, 3\}$. Dla $m = 1$ współczynnik przy $x^3$ wynosi $1 - 9 = -8 \neq 0$, czyli $W(x) = -8x^3 + 3x^2 - 4$ ma stopień $3$ i nie może być równy $U$.

Uwaga: nie wystarczy rozwiązać jednego z warunków. Odpowiedzią jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich równań - a ta może być pusta.

Odpowiedź. a) $m = 3$. b) Nie ma takiej wartości $m$.