Wyznacz a i b, gdy (x + 3)(x² + ax + b) = x³ + x² − 9x − 9

Krok 1. Wymnażamy lewą stronę i porządkujemy według potęg $x$:

$(x + 3)(x^2 + ax + b) = x^3 + ax^2 + bx + 3x^2 + 3ax + 3b = x^3 + (a + 3)x^2 + (b + 3a)x + 3b.$

Krok 2. Porównujemy współczynniki z prawą stroną:

$\begin{cases} a + 3 = 1 \\ b + 3a = -9 \\ 3b = -9 \end{cases}$

Krok 3. Rozwiązujemy. Z pierwszego równania $a = -2$, z trzeciego $b = -3$.

Krok 4. Sprawdzamy równanie nadmiarowe. Mamy trzy równania na dwie niewiadome, więc drugie musi się zgadzać samo: $b + 3a = -3 + 3 \cdot (-2) = -9$. Zgadza się - takie $a$ i $b$ istnieją.

Krok 5. Rozkład na czynniki. Otrzymaliśmy $x^3 + x^2 - 9x - 9 = (x + 3)(x^2 - 2x - 3)$. Trójmian $x^2 - 2x - 3$ ma pierwiastki $3$ i $-1$ (bo $\Delta = 4 + 12 = 16$), więc $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.

Krok 6. Sprawdzenie rozkładu.

$(x + 3)(x - 3)(x + 1) = (x^2 - 9)(x + 1) = x^3 + x^2 - 9x - 9.$

Uwaga: przy wymnażaniu łatwo zgubić wyraz $3ax$. Wtedy przy $x$ wychodzi samo $b$ i układ przestaje być spójny.

Odpowiedź. $a = -2$, $b = -3$; $x^3 + x^2 - 9x - 9 = (x + 3)(x - 3)(x + 1)$.