Wyznacz wielomian W(x) = x³ + ax² + bx + c, gdy W(0) = −6, W(1) = 0, W(−1) = −8

Szkoła średnia średnie

Wielomian $W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ spełnia warunki $W(0) = -6$ , $W(1) = 0$ oraz $W(-1) = -8$ . Wyznacz $a$ , $b$ , $c$ i zapisz wzór wielomianu.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Wyraz wolny. $W(0)$ to wyraz wolny, więc od razu $c = -6$ .

Krok 2. Warunek $W(1) = 0$ .

$W(1) = 1 + a + b - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + b = 5.$

Krok 3. Warunek $W(-1) = -8$ . Pamiętamy, że $(-1)^3 = -1$ oraz $(-1)^2 = 1$ :

$W(-1) = -1 + a - b - 6 = -8 \quad\Longrightarrow\quad a - b = -1.$

Krok 4. Rozwiązujemy układ.

$\begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases}$

Dodając równania stronami: $2a = 4$ , czyli $a = 2$ . Stąd $b = 5 - 2 = 3$ .

Krok 5. Sprawdzenie. $W(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 6$ . Mamy $W(0) = -6$ , $W(1) = 1 + 2 + 3 - 6 = 0$ oraz $W(-1) = -1 + 2 - 3 - 6 = -8$ .

Trzy niewiadome współczynniki wyznaczają dokładnie trzy niezależne warunki - współczynnik przy $x^3$ był podany w treści.

Odpowiedź. $a = 2$ , $b = 3$ , $c = -6$ , czyli $W(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 6$ .