Zapisz x³ − x² + 2x + 5 w postaci a(x − 1)³ + b(x − 1)² + c(x − 1) + d

Krok 1. Rozwijamy potęgi dwumianu ze wzorów skróconego mnożenia:

$(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1, \qquad (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1.$

Krok 2. Wymnażamy i porządkujemy prawą stronę.

$ax^3 - 3ax^2 + 3ax - a + bx^2 - 2bx + b + cx - c + d$

$= ax^3 + (b - 3a)x^2 + (3a - 2b + c)x + (d - a + b - c).$

Krok 3. Porównujemy współczynniki z lewą stroną:

$\begin{cases} a = 1 \\ b - 3a = -1 \\ 3a - 2b + c = 2 \\ d - a + b - c = 5 \end{cases}$

Krok 4. Rozwiązujemy od góry. $a = 1$; $b - 3 = -1$, więc $b = 2$; $3 - 4 + c = 2$, więc $c = 3$; $d - 1 + 2 - 3 = 5$, więc $d = 7$.

Krok 5. Sprawdzenie dwiema liczbami. Dla $x = 1$ prawa strona to samo $d$, a lewa $1 - 1 + 2 + 5 = 7$ - zgadza się. Dla $x = 2$: lewa $8 - 4 + 4 + 5 = 13$, prawa $1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 7 = 13$.

Liczba $d$ wychodzi też od razu z podstawienia $x = 1$: wszystkie nawiasy $(x - 1)$ się zerują, więc $d = 1 - 1 + 2 + 5 = 7$. To dobry sposób na sprawdzenie ostatniego równania układu.

Odpowiedź. $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$, $d = 7$, czyli $x^3 - x^2 + 2x + 5 = (x - 1)^3 + 2(x - 1)^2 + 3(x - 1) + 7$.