Koza uwiązana na linie 8 m w narożniku szopy 6 m × 4 m - pole, które może wypasać

Krok 1. Trzy czwarte koła. Wokół narożnika $A$ koza ma swobodę we wszystkich kierunkach poza kątem prostym zajętym przez szopę, czyli w kącie $270^\circ$. To wycinek koła o promieniu $8$ m:

$P_1 = \frac{270^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{3}{4} \cdot 64\pi = 48\pi.$

Krok 2. Za rogiem przy krótszej ścianie (4 m). Gdy lina napnie się wzdłuż ściany długości $4$ m, zostaje jej $8 - 4 = 4$ m. Za rogiem koza zakreśla ćwiartkę koła o promieniu $4$ m:

$P_2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = 4\pi.$

Krok 3. Za rogiem przy dłuższej ścianie (6 m). Zostaje $8 - 6 = 2$ m liny, czyli ćwiartka koła o promieniu $2$ m:

$P_3 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 = \pi.$

Krok 4. Czy kawałki na siebie nie zachodzą? Ćwiartka z kroku 2 leży nad szopą w pasie szerokości $4$ m przy ścianie z narożnikiem $A$, a ćwiartka z kroku 3 - obok szopy, najwyżej $2$ m od jej dolnej krawędzi. Dalej, za drugim rogiem, lina już nie sięga: droga wzdłuż dwóch ścian ma $4 + 6 = 10 > 8$ m. Pola można więc po prostu dodać.

Krok 5. Pole łącznie.

$P = 48\pi + 4\pi + \pi = 53\pi \approx 166{,}50 \text{ m}^2.$

Ponieważ $1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2$, to około $1{,}67$ ara.

Uwaga: odpowiedź „$\frac{3}{4}$ koła, czyli $48\pi$” pomija to, że lina owija się wokół narożników szopy - koza dochodzi też za ściany.

Odpowiedź. Koza może wypasać obszar o polu $53\pi \approx 166{,}5$ m², czyli około $1{,}67$ ara.